Много лет назад я работал в Telxon с Дэйвом Стронгом. Дэйв упомянул, что его дедушка проделывал трюк, когда спрашивал у кого-нибудь в комнате любой номер. Затем он очень хорошо подумал и медленно, но сознательно построил матрицу 4x4. Каждая строка, столбец и диагональ чисел в сумме дают в точности выбранное число. Такой тип фигуры называется магическим квадратом.
Дедом Дэйва был Уолтер Уиллс Стронг. Он был с YMCA в Европе во время Первой мировой войны и поразил войска этим умственным трюком. Когда Дэйв представил мне эту проблему, я нашел решение для создания базового магического квадрата с числами от 1 до 16, которое в сумме дает 34. Однако дедушка Дэйва смог придумать магический квадрат для любого числа. Теперь, много лет спустя, Дэйв открыл формулу того, как его дед проделывал этот фокус. Немного попрактиковавшись, вы сможете научиться этому трюку самостоятельно. Совет этой недели будет говорить о магических квадратах. Он покажет процесс, который использовал дедушка Дэйва. Он также предложит два файла Excel. Один файл Excel быстро вычисляет магический квадрат для любого числа. Другой файл Excel пытается воспроизвести колдовской характер представления, которое должен был дать дед Дэйва,в комплекте с бородатым волшебником.
Теория основного магического квадрата
Матрица чисел 4x4 имеет две диагонали. На изображении ниже одна диагональ состоит из 4 желтых квадратов. Одна диагональ состоит из 4 красных квадратов. Остальные 8 краевых ячеек окрашены в зеленый цвет.
Чтобы построить магический квадрат для 34, вы просто вводите числа от 1 до 16 по порядку. Есть один простой поворот. Если вы собираетесь написать число в желтом или красном квадрате, вам нужно будет написать число в ячейке, которая диагонально противоположна этому квадрату. Например, цифра 1 в левом верхнем углу выпадает на желтый квадрат. Клетка, расположенная по диагонали напротив этого квадрата, на самом деле является 16-м квадратом в правом нижнем углу. Вместо того, чтобы писать 1 в верхнем левом квадрате, напишите его в нижнем правом квадрате.
Следующие два числа, 2 и 3, выпадут в зеленых квадратах, поэтому запишите их на своем обычном месте. Число 4 попадет в красный квадрат, поэтому вместо того, чтобы писать его в верхнем правом углу, напишите число 4 в нижнем левом углу.
Цифра 5 написана в правильном месте. 6 и 7 нужно двигать по диагонали, а 8 пишется в нужном месте.
Продолжайте эту схему для чисел от 9 до 16. В конечном итоге вы получите простой магический квадрат, который в сумме дает 34 во всех направлениях.
Интересный поворот
Дедушка Дэйва немного изменил это. Для деда Дэйва было противоположное правило. Все, что попадало на красный или желтый квадрат, было написано в нужном месте. Все, что попадало в клетку с зеленым краем, писалось в квадрате, противоположном диагонали. Его основной квадрат выглядел бы так.
Я предлагаю вам изучить любой из двух вышеупомянутых шаблонов и придерживаться его. Я буду использовать шаблон, в котором числа на красной или желтой диагоналях написаны по диагонали напротив их обычного расположения.
Создание магического квадрата для любого числа
Секрет, который использовал дед Дэйва, состоял в том, чтобы скорректировать его стартовый номер. Он использовал вычисления в своей голове, чтобы вычислить начальное число, отличное от 1. Если подумать о математике, каждая сумма в магическом квадрате состоит из 4 ячеек. Если вы добавите по одному к каждой ячейке, магический квадрат составит 38, потому что все 4 ячейки будут увеличены на 1. Вот магический квадрат, созданный с использованием целых чисел от 2 до 17 вместо 1 до 16. Он составляет 38 вместо 34. Вся остальная логика остается прежней.
Ключом к созданию магического квадрата, который складывается с любым числом, является изменение начального числа. Немного по алгебре, вы можете понять, почему начальное число следует этой формуле:
((Desired Number - 34) / 4 ) + 1Вот книга Excel для создания любого желаемого Magic Square: AnyMagicSquare.xls.
Волшебный квадрат джинн
В этой книге используются макросы Excel VBA. Чтобы джинн работал, вы должны разрешить запуск макросов при открытии этой книги. Чтобы включить макросы, выполните следующие действия перед загрузкой книги.
- Открыть Excel
- В меню выберите Инструменты> Макрос> Безопасность.
- Измените настройку на Средний
- Скачайте и откройте книгу
- При открытии книги вы получите уведомление о наличии макросов. Выберите «Включить».
Я написал эту программу, чтобы смоделировать представление, данное дедушкой Дэйва. Хотя это не так впечатляет, как кто-то, занимающийся математикой лично с карандашом и бумагой, он все же дает вам представление о том, как будет выглядеть производительность. Нажмите на Джинна, чтобы начать, и он попросит у вас номер. Затем джинн думает о проблеме.
Джинн медленно начинает заполнять числа.
Когда строки заполнены, итоговые значения строк и столбцов загораются, показывая, что строки правильные.
В конце концов, джинн получает правильный квадрат и предлагает сделать другой.
Загрузите заархивированную версию Magic Square Genie.
Благодарность Дэйву Стронгу и его деду Уолтеру Уиллсу Стронгу за передачу этой техники.
Чтобы узнать больше об использовании VBA для автоматизации задач Excel, ознакомьтесь с VBA и макросами для Microsoft Excel, написанными Биллом Джеленом и Трейси Сирстад.
Обновление от декабря 2005 г.
Другой метод, использующий только целые числа
В ноябре 2005 года Рэй Баттерсби написал, что должен быть способ вычислить магический квадрат для любого числа выше 30, используя только целые числа без десятичных знаков. Рэй обнаружил, что в матрицу можно добавить от одной до четырех конкретных ячеек. В Магическом квадрате для 34 расположите числа в числовом порядке и возьмите каждую вторую ячейку, начиная с самой низкой. На изображении ниже Рэй идентифицировал ячейки, содержащие 1, 3, 5 и 7.
Чтобы превратить его в магический квадрат на 35, добавьте по одному в каждую желтую ячейку.
Чтобы использовать метод Рэя, вычтите 30 из желаемого результата. Разделите это число на 4. Целая часть становится начальной цифрой, а остаток становится числом, которое вы добавляете к четырем желтым ячейкам. Например, чтобы создать магический квадрат на 33:
- 33-30 это 3
- 3 деленное на 4 дает 0 с остатком 3
- Начальное число равно 0, как показано в промежуточном результате ниже.
- Добавьте по 3 в каждую из желтых ячеек, как показано в окончательном результате ниже.
Как отмечает Рэй, это означает, что некоторые цифры повторяются в матрице.
Спасибо Рэю за то, что поделился этим методом.
Обновление от января 2008 г.
Ричард Летсингер написал, что метод Рэя будет работать для любого целого числа, положительного или отрицательного. Метод не ограничивается только целыми числами больше 30.
