Сильно связанные компоненты

Содержание

Алгоритм Косараджу
Примеры Python, Java, C ++
Сложность алгоритма Косараджу
Приложения для сильно связанных компонентов

В этом руководстве вы узнаете, как формируются сильно связанные компоненты. Также вы найдете рабочие примеры алгоритма Косарарью на языках C, C ++, Java и Python.

Компонент сильной связности - это часть ориентированного графа, в которой есть путь от каждой вершины к другой вершине. Это применимо только на ориентированном графе .

Например:

Возьмем график ниже.

Начальный график

Компоненты сильной связности приведенного выше графика:

Сильносвязные компоненты

Вы можете заметить, что в первом сильно связном компоненте каждая вершина может достигнуть другой вершины по ориентированному пути.

Эти компоненты можно найти с помощью алгоритма Косараджу .

Алгоритм Косараджу

Алгоритм Косараджу основан на дважды реализованном алгоритме поиска в глубину.

Требуется три шага.

Выполните поиск в глубину по всему графику.
Давайте начнем с вершины-0, посетим все ее дочерние вершины и отметим посещенные вершины как выполненные. Если вершина ведет к уже посещенной вершине, то помещаем эту вершину в стек.
Например: начиная с вершины-0, перейдите к вершине-1, вершине-2, а затем к вершине-3. Вершина-3 ведет к уже посещенной вершине-0, поэтому вставьте исходную вершину (т.е. вершину-3) в стек. DFS на графе
Перейдите к предыдущей вершине (вершина-2) и последовательно посетите ее дочерние вершины, то есть вершину-4, вершину-5, вершину-6 и вершину-7. Так как от вершины-7 некуда идти, запихиваем в стек. DFS на графике
Перейдите к предыдущей вершине (вершина-6) и посетите ее дочерние вершины. Но все его дочерние вершины посещаются, поэтому вставьте его в стек. Укладка
Аналогичным образом создается окончательный стек. Финальный стек
Переверните исходный график. DFS на перевернутом графике
Выполните поиск в глубину на перевернутом графике.
Начните с верхней вершины стека. Пройдите через все его дочерние вершины. При достижении уже посещенной вершины образуется один компонент сильной связности.
Например: Извлечь вершину-0 из стека. Начиная с вершины-0, пройдите через ее дочерние вершины (вершина-0, вершина-1, вершина-2, вершина-3 по порядку) и отметьте их как посещенные. Дочерний элемент вершины-3 уже посещен, поэтому эти посещенные вершины образуют одну сильно связную компоненту. Начните сверху и пройдитесь по всем вершинам.
Перейдите в стек и вытолкните верхнюю вершину, если она уже была посещена. В противном случае выберите верхнюю вершину из стека и пройдите через ее дочерние вершины, как показано выше. Удалите верхнюю вершину, если уже посещали Сильносвязная компонента
Таким образом, сильносвязными компонентами являются: Все компоненты сильной связности

Примеры Python, Java, C ++

Python Java C ++

 # Kosaraju's algorithm to find strongly connected components in Python from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self, vertex): self.V = vertex self.graph = defaultdict(list) # Add edge into the graph def add_edge(self, s, d): self.graph(s).append(d) # dfs def dfs(self, d, visited_vertex): visited_vertex(d) = True print(d, end='') for i in self.graph(d): if not visited_vertex(i): self.dfs(i, visited_vertex) def fill_order(self, d, visited_vertex, stack): visited_vertex(d) = True for i in self.graph(d): if not visited_vertex(i): self.fill_order(i, visited_vertex, stack) stack = stack.append(d) # transpose the matrix def transpose(self): g = Graph(self.V) for i in self.graph: for j in self.graph(i): g.add_edge(j, i) return g # Print stongly connected components def print_scc(self): stack = () visited_vertex = (False) * (self.V) for i in range(self.V): if not visited_vertex(i): self.fill_order(i, visited_vertex, stack) gr = self.transpose() visited_vertex = (False) * (self.V) while stack: i = stack.pop() if not visited_vertex(i): gr.dfs(i, visited_vertex) print("") g = Graph(8) g.add_edge(0, 1) g.add_edge(1, 2) g.add_edge(2, 3) g.add_edge(2, 4) g.add_edge(3, 0) g.add_edge(4, 5) g.add_edge(5, 6) g.add_edge(6, 4) g.add_edge(6, 7) print("Strongly Connected Components:") g.print_scc()

 // Kosaraju's algorithm to find strongly connected components in Java import java.util.*; import java.util.LinkedList; class Graph ( private int V; private LinkedList adj(); // Create a graph Graph(int s) ( V = s; adj = new LinkedList(s); for (int i = 0; i < s; ++i) adj(i) = new LinkedList(); ) // Add edge void addEdge(int s, int d) ( adj(s).add(d); ) // DFS void DFSUtil(int s, boolean visitedVertices()) ( visitedVertices(s) = true; System.out.print(s + " "); int n; Iterator i = adj(s).iterator(); while (i.hasNext()) ( n = i.next(); if (!visitedVertices(n)) DFSUtil(n, visitedVertices); ) ) // Transpose the graph Graph Transpose() ( Graph g = new Graph(V); for (int s = 0; s < V; s++) ( Iterator i = adj(s).listIterator(); while (i.hasNext()) g.adj(i.next()).add(s); ) return g; ) void fillOrder(int s, boolean visitedVertices(), Stack stack) ( visitedVertices(s) = true; Iterator i = adj(s).iterator(); while (i.hasNext()) ( int n = i.next(); if (!visitedVertices(n)) fillOrder(n, visitedVertices, stack); ) stack.push(new Integer(s)); ) // Print strongly connected component void printSCC() ( Stack stack = new Stack(); boolean visitedVertices() = new boolean(V); for (int i = 0; i < V; i++) visitedVertices(i) = false; for (int i = 0; i < V; i++) if (visitedVertices(i) == false) fillOrder(i, visitedVertices, stack); Graph gr = Transpose(); for (int i = 0; i < V; i++) visitedVertices(i) = false; while (stack.empty() == false) ( int s = (int) stack.pop(); if (visitedVertices(s) == false) ( gr.DFSUtil(s, visitedVertices); System.out.println(); ) ) ) public static void main(String args()) ( Graph g = new Graph(8); g.addEdge(0, 1); g.addEdge(1, 2); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(2, 4); g.addEdge(3, 0); g.addEdge(4, 5); g.addEdge(5, 6); g.addEdge(6, 4); g.addEdge(6, 7); System.out.println("Strongly Connected Components:"); g.printSCC(); ) )

 // Kosaraju's algorithm to find strongly connected components in C++ #include #include #include using namespace std; class Graph ( int V; list *adj; void fillOrder(int s, bool visitedV(), stack &Stack); void DFS(int s, bool visitedV()); public: Graph(int V); void addEdge(int s, int d); void printSCC(); Graph transpose(); ); Graph::Graph(int V) ( this->V = V; adj = new list(V); ) // DFS void Graph::DFS(int s, bool visitedV()) ( visitedV(s) = true; cout << s << " "; list::iterator i; for (i = adj(s).begin(); i != adj(s).end(); ++i) if (!visitedV(*i)) DFS(*i, visitedV); ) // Transpose Graph Graph::transpose() ( Graph g(V); for (int s = 0; s < V; s++) ( list::iterator i; for (i = adj(s).begin(); i != adj(s).end(); ++i) ( g.adj(*i).push_back(s); ) ) return g; ) // Add edge into the graph void Graph::addEdge(int s, int d) ( adj(s).push_back(d); ) void Graph::fillOrder(int s, bool visitedV(), stack &Stack) ( visitedV(s) = true; list::iterator i; for (i = adj(s).begin(); i != adj(s).end(); ++i) if (!visitedV(*i)) fillOrder(*i, visitedV, Stack); Stack.push(s); ) // Print strongly connected component void Graph::printSCC() ( stack Stack; bool *visitedV = new bool(V); for (int i = 0; i < V; i++) visitedV(i) = false; for (int i = 0; i < V; i++) if (visitedV(i) == false) fillOrder(i, visitedV, Stack); Graph gr = transpose(); for (int i = 0; i < V; i++) visitedV(i) = false; while (Stack.empty() == false) ( int s = Stack.top(); Stack.pop(); if (visitedV(s) == false) ( gr.DFS(s, visitedV); cout << endl; ) ) ) int main() ( Graph g(8); g.addEdge(0, 1); g.addEdge(1, 2); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(2, 4); g.addEdge(3, 0); g.addEdge(4, 5); g.addEdge(5, 6); g.addEdge(6, 4); g.addEdge(6, 7); cout << "Strongly Connected Components:"; g.printSCC(); )